A是由2002个4组成的多位数,即444.4,A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B,如果不是,请说明理由.

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问题描述:

A是由2002个4组成的多位数,即444.4,A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B,如果不是,请说明理由.

樊建聪回答:

  这个题要用到等比数列的求和公式.

  假设A是某个自然数B的平方.

  A=444...4

  =4(10^2001+10^2000+...+1)

  =4(10^2002-1)/(10-1)

  =(4/9)(10^2002-1)

  =B^2

  4(10^2002-1)=9B^2

  4×10^2002-9B^2=4

  (2×10^1001+3B)(2×10^1001-3B)=4

  由于2×10^1001,B均为自然数,因此等式左边为两自然数的乘积,等式右边同样为自然数.

  4=1×4(注意:不能分解成4=2×2)

  2×10^1001+3B=4

  2×10^1001-3B=1

  解得B无自然数解,因此假设错误.A不是某个自然数B的平方.